Derivator och integraler: formler att kunna utantill till MaFy-provet

Uppdaterad 15 oktober 2026 · 9 min läsning · Av Anders Karlsson

Här är 20 formler och samband inom derivator och integraler som du behöver kunna utantill till Matematik- och fysikprovet (MaFy-provet), där formelsamling inte är tillåten. Varje formel har en kort förklaring med storheter och enheter och ett räknat exempel som går att lösa utan miniräknare.

Samma formler finns som formelkort i MaFy-appen, där du övar på dem med självbedömning och får tillbaka korten när det är dags att repetera.

Öva på de här formlerna i appen

Översikt: derivator och integraler i en tabell

Samband	Formel
Derivatans definition	$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$
Derivatan av en potensfunktion	$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$
Derivatan av exponentialfunktioner	$\frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}$ , $\quad \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a$
Derivatan av ln x	$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$ , $\quad \frac{d}{dx}\ln g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$ ( $g(x) > 0$ )
Derivatan av sin och cos	$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ , $\quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$
Produktregeln	$(fg)' = f'g + fg'$
Kvotregeln	$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$
Kedjeregeln	$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$
Tangentens ekvation	$y = f(a) + f'(a)(x - a)$
Extrempunkter	Lös $f'(x) = 0$ och avgör typ med teckenstudium av $f'$ eller med $f''$ : $f'' < 0$ max, $f'' > 0$ min
Andraderivata och konvexitet	$f''(x) > 0$ : konvex (böjer uppåt som $y = x^2$ ). $f''(x) < 0$ : konkav (böjer nedåt som $y = -x^2$ ). Teckenbyte hos $f''$ : inflexionspunkt
Primitiva funktioner	$\frac{x^{n+1}}{n + 1}$ ( $n \ne -1$ ), $\quad \ln\|x\|$ , $\quad \frac{e^{kx}}{k}$ ( $k \ne 0$ ) (plus en konstant $C$ )
Primitiva funktioner till sin och cos	$\int\sin kx\,dx = -\frac{\cos kx}{k} + C$ , $\quad \int\cos kx\,dx = \frac{\sin kx}{k} + C$ $\quad (k \ne 0)$
Integralkalkylens huvudsats	$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ , där $F$ är en primitiv funktion till $f$ och $f$ är kontinuerlig på $[a, b]$
Area och integral	Om $f(x) \ge 0$ på $[a, b]$ är arean $\int_a^b f(x)\,dx$ . Area mellan kurvor: $\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ där $f \ge g$
Udda och jämna funktioner	Udda ( $f(-x) = -f(x)$ ): $\int_{-a}^{a} f\,dx = 0$ . Jämn ( $f(-x) = f(x)$ ): $\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^{a} f\,dx$
Integral av hastighet	$s(t_2) - s(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$ (förflyttningen; lika med tillryggalagd sträcka om $v \ge 0$ )
Primitiv funktion med linjär inre funktion	$\int f(kx + m)\,dx = \frac{F(kx + m)}{k} + C$ $\quad (k \ne 0)$ , där $F' = f$
Exponentiell tillväxt	$y = Ce^{kx}$
Medelvärde av en funktion	$\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$

Formlerna en och en

Derivatans definition

f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Derivatan $f'(x)$ är gränsvärdet av ändringskvoten när steget $h$ går mot noll. Den anger funktionens momentana förändringshastighet och tangentens lutning i punkten.

Tips: Derivatan är tangentens lutning.

Räknat exempel

Bestäm derivatan av $f(x) = x^2$ med derivatans definition.

$\frac{(x + h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$
$f'(x) = \lim_{h \to 0}(2x + h) = 2x$

Svar: f'(x) = 2x

Derivatan av en potensfunktion

\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}

Exponenten flyttas ned som faktor och minskas med ett. Regeln gäller även negativa exponenter och bråkexponenter.

Tips: Gäller alla reella $n$ (för $x > 0$ om $n$ inte är ett heltal), till exempel $\sqrt{x} = x^{1/2}$ och $\frac{1}{x} = x^{-1}$ .

Räknat exempel

Derivera $f(x) = 4\sqrt{x} + \frac{2}{x}$ och beräkna $f'(4)$ .

$f(x) = 4x^{1/2} + 2x^{-1}$ , så $f'(x) = 2x^{-1/2} - 2x^{-2}$
$f'(4) = \frac{2}{2} - \frac{2}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Svar: 7/8

Derivatan av exponentialfunktioner

\frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}

\quad \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a

Exponentialfunktionens derivata är proportionell mot funktionen själv. För en allmän bas $a > 0$ tillkommer faktorn $\ln a$ .

Tips: $e^x$ är sin egen derivata.

Räknat exempel

Bestäm $f'(0)$ för $f(x) = 3e^{2x} + 2^x$ .

$f'(x) = 6e^{2x} + 2^x\ln 2$
$f'(0) = 6 + \ln 2$

Svar: 6 + ln 2

Derivatan av ln x

\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}

\quad \frac{d}{dx}\ln g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}

(

g(x) > 0

)

Derivatan av den naturliga logaritmen är $\frac{1}{x}$ för $x > 0$ . Med kedjeregeln blir derivatan av $\ln g(x)$ kvoten mellan inre derivatan och $g(x)$ .

Tips: Förenkla först med logaritmlagarna, t.ex. $\ln x^3 = 3\ln x$ . Även $\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}$ för $x \ne 0$ .

Räknat exempel

Bestäm $f'(1)$ för $f(x) = \ln(x^2 + 3)$ .

$f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 3}$
$f'(1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Svar: 1/2

Derivatan av sin och cos

\frac{d}{dx}\sin x = \cos x

\quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x

Sinus deriveras till cosinus och cosinus till minus sinus. Med kedjeregeln: $\frac{d}{dx}\sin kx = k\cos kx$ .

Tips: Gäller bara när $x$ är i radianer.

Räknat exempel

Bestäm $f'\left(\frac{\pi}{6}\right)$ för $f(x) = \sin 2x$ .

$f'(x) = 2\cos 2x$
$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cos\frac{\pi}{3} = 2\cdot\frac{1}{2} = 1$

Svar: 1

Produktregeln

(fg)' = f'g + fg'

Derivatan av en produkt av två funktioner är summan av två termer, där man deriverar en faktor i taget.

Tips: Derivatan av en produkt är inte produkten av derivatorna.

Räknat exempel

Bestäm $f'(0)$ för $f(x) = x^2e^x + xe^x$ .

$f'(x) = 2xe^x + x^2e^x + e^x + xe^x$
$f'(0) = 0 + 0 + 1 + 0 = 1$

Svar: 1

Kvotregeln

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

Derivatan av en kvot har nämnarens kvadrat i nämnaren. Täljaren är derivatan av täljaren gånger nämnaren minus täljaren gånger nämnarens derivata.

Tips: Ordningen i täljaren spelar roll: täljarens derivata först.

Räknat exempel

Bestäm $f'(1)$ för $f(x) = \frac{2x + 1}{x + 1}$ .

$f'(x) = \frac{2(x + 1) - (2x + 1)}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}$
$f'(1) = \frac{1}{4}$

Svar: 1/4

Kedjeregeln

\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)

En sammansatt funktion deriveras genom att man deriverar den yttre funktionen (med den inre kvar som argument) och multiplicerar med den inre funktionens derivata.

Tips: Yttre derivatan gånger inre derivatan.

Räknat exempel

Bestäm $f'(1)$ för $f(x) = (x^2 + 1)^3$ .

$f'(x) = 3(x^2 + 1)^2\cdot 2x$
$f'(1) = 3\cdot 4\cdot 2 = 24$

Svar: 24

Tangentens ekvation

y = f(a) + f'(a)(x - a)

Tangenten går genom punkten $(a, f(a))$ och har lutningen $f'(a)$ . Uttrycket är räta linjens ekvation på enpunktsform.

Tips: Normalen har lutningen $-\frac{1}{f'(a)}$ (om $f'(a) \ne 0$ ).

Räknat exempel

Bestäm tangentens ekvation till $y = x^3$ i punkten där $x = 1$ .

$f(1) = 1$ , $f'(x) = 3x^2$ ger $f'(1) = 3$
$y = 1 + 3(x - 1) = 3x - 2$

Svar: y = 3x − 2

Extrempunkter

Lös

f'(x) = 0

och avgör typ med teckenstudium av

f'

eller med

f''

f'' < 0

max,

f'' > 0

min

I en lokal extrempunkt där $f$ är deriverbar (och som inte är en ändpunkt) är tangenten vågrät, så $f'(x) = 0$ . Om derivatan byter tecken från $+$ till $-$ är det ett maximum, från $-$ till $+$ ett minimum. Andraderivatan ger samma besked när den inte är noll. Undersök också punkter där $f$ inte är deriverbar, till exempel $|x|$ i $x = 0$ .

Tips: På ett slutet intervall: jämför även med värdena i ändpunkterna.

Räknat exempel

Bestäm det största värdet av $f(x) = 6x - x^2$ .

$f'(x) = 6 - 2x = 0$ ger $x = 3$ ; $f''(x) = -2 < 0$ , alltså maximum
$f(3) = 18 - 9 = 9$

Svar: 9

Andraderivata och konvexitet

f''(x) > 0

: konvex (böjer uppåt som

y = x^2

f''(x) < 0

: konkav (böjer nedåt som

y = -x^2

). Teckenbyte hos

f''

: inflexionspunkt

Andraderivatan $f''$ är derivatan av derivatan och beskriver hur lutningen ändras. Där den byter tecken har grafen en inflexionspunkt.

Tips: I fysiken är andraderivatan av läget accelerationen.

Räknat exempel

Bestäm inflexionspunkten till $f(x) = x^3 - 3x^2$ .

$f''(x) = 6x - 6 = 0$ ger $x = 1$ , och $f''$ byter tecken där
$f(1) = 1 - 3 = -2$

Svar: (1, −2)

Primitiva funktioner

\frac{x^{n+1}}{n + 1}

(

n \ne -1

\quad \ln|x|

\quad \frac{e^{kx}}{k}

(

k \ne 0

) (plus en konstant

C

)

$F$ är en primitiv funktion till $f$ om $F'(x) = f(x)$ . Två primitiva funktioner skiljer sig bara med en konstant.

Tips: Kontrollera genom att derivera svaret.

Räknat exempel

Bestäm en primitiv funktion till $f(x) = 6x^2 + 4e^{2x}$ .

$6\cdot\frac{x^3}{3} = 2x^3$ och $4\cdot\frac{e^{2x}}{2} = 2e^{2x}$
$F(x) = 2x^3 + 2e^{2x} + C$

Svar: F(x) = 2x³ + 2e²ˣ + C

Primitiva funktioner till sin och cos

\int\sin kx\,dx = -\frac{\cos kx}{k} + C

\quad \int\cos kx\,dx = \frac{\sin kx}{k} + C

\quad (k \ne 0)

De primitiva funktionerna fås genom att man läser deriveringsreglerna för sinus och cosinus baklänges och delar med den inre derivatan $k$ .

Tips: Tecknet: derivatan av $-\cos x$ är $\sin x$ .

Räknat exempel

Beräkna $\int_0^{\pi} \sin x\,dx$ .

$\left[-\cos x\right]_0^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0)$
$= 1 + 1 = 2$

Svar: 2

Integralkalkylens huvudsats

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

, där

F

är en primitiv funktion till

f

och

f

är kontinuerlig på

[a, b]

En bestämd integral beräknas genom att man tar en primitiv funktion och subtraherar värdet i den undre gränsen från värdet i den övre.

Tips: Konstanten $C$ tar ut sig och kan utelämnas.

Räknat exempel

Beräkna $\int_1^3 (2x + 1)\,dx$ .

$\left[x^2 + x\right]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1)$
$= 10$

Svar: 10

Area och integral

f(x) \ge 0

på

[a, b]

är arean

\int_a^b f(x)\,dx

. Area mellan kurvor:

\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx

där

f \ge g

Integralen räknar area ovanför x-axeln som positiv och under som negativ. Arean mellan två kurvor fås genom att integrera den övre minus den undre mellan skärningspunkterna.

Tips: Delar under x-axeln ger negativt bidrag till integralen.

Räknat exempel

Beräkna arean mellan kurvorna $y = x$ och $y = x^2$ .

Skärning i $x = 0$ och $x = 1$ ; där är $x \ge x^2$
$\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Svar: 1/6 areaenheter

Udda och jämna funktioner

Udda (

f(-x) = -f(x)

\int_{-a}^{a} f\,dx = 0

. Jämn (

f(-x) = f(x)

\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^{a} f\,dx

En udda funktion är symmetrisk kring origo, så areorna på var sida om y-axeln tar ut varandra. En jämn funktion är spegelsymmetrisk i y-axeln.

Tips: Exempel på udda funktioner: $x^3$ , $\sin x$ , $x\cos x$ .

Räknat exempel

Beräkna $\int_{-2}^{2} (x^3\cos x + 3x^2)\,dx$ .

$x^3\cos x$ är udda och ger 0.
$2\int_0^2 3x^2\,dx = 2\left[x^3\right]_0^2 = 16$

Svar: 16

Integral av hastighet

s(t_2) - s(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt

(förflyttningen; lika med tillryggalagd sträcka om

v \ge 0

)

Läget $s$ är en primitiv funktion till hastigheten $v$ . Integralen av hastigheten mellan två tidpunkter är därför förflyttningen, alltså arean under $v$ - $t$ -grafen räknat med tecken.

Tips: Omvänt: hastigheten är derivatan av läget. Byter $v$ tecken blir sträckan $\int |v(t)|\,dt$ .

Räknat exempel

En partikel har hastigheten $v(t) = 3t^2$ m/s. Hur långt rör den sig mellan $t = 1$ s och $t = 2$ s?

$s = \int_1^2 3t^2\,dt = \left[t^3\right]_1^2$
$= 8 - 1 = 7\ \text{m}$

Svar: 7 m

Primitiv funktion med linjär inre funktion

\int f(kx + m)\,dx = \frac{F(kx + m)}{k} + C

\quad (k \ne 0)

, där

F' = f

Är den inre funktionen linjär räcker det att ta en primitiv funktion till den yttre och dela med den inre derivatan $k$ .

Tips: Kontrollera med kedjeregeln: inre derivatan $k$ tar ut nämnaren.

Räknat exempel

Beräkna $\int_0^1 (2x + 1)^2\,dx$ .

$\left[\frac{(2x + 1)^3}{3\cdot 2}\right]_0^1 = \frac{27}{6} - \frac{1}{6}$
$= \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$

Svar: 13/3

Exponentiell tillväxt

y = Ce^{kx}

När förändringshastigheten är proportionell mot storleken själv växer eller avtar storheten exponentiellt. Konstanten $C$ är startvärdet.

Tips: $k > 0$ : tillväxt, $k < 0$ : avtagande (t.ex. radioaktivt sönderfall).

Räknat exempel

Lös $y' = 3y$ med $y(0) = 2$ .

$y = Ce^{3x}$
$y(0) = C = 2$ , så $y = 2e^{3x}$

Svar: y = 2e³ˣ

Medelvärde av en funktion

\bar{f} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx

Medelvärdet är den konstanta höjd som ger samma integral över intervallet som funktionen själv.

Tips: Rektangeln med höjden $\bar{f}$ har samma area som ytan under kurvan.

Räknat exempel

Bestäm medelvärdet av $f(x) = x^2$ på intervallet $[0, 3]$ .

$\int_0^3 x^2\,dx = \frac{27}{3} = 9$
$\bar{f} = \frac{9}{3} = 3$

Svar: 3

Var på provet behövs formlerna?

Enligt vår egen genomgång av proven 2024–2026, som finns publicerade på provets officiella webbplats, har uppgifter av den här typen återkommit på följande ställen:

Derivator och integraler: Matematik B23 (derivata i en punkt) och B24 (bestämd integral, symmetri)

Numreringen gäller de senaste årens prov och kan ändras. Gamla prov med facit finns på provets officiella webbplats, se guiden Gamla prov och facit.

Hur lär man sig formlerna utantill?

Läs inte bara igenom listan. Täck över formeln, försök skriva den själv och kontrollera sedan. Gör om det med några dagars mellanrum, och oftare för de formler du glömmer. Kontrollera enheterna i varje formel du skriver: stämmer inte dimensionen är formeln fel. Mer om metoden finns i guiden Formler du måste kunna utantill.

Fler formelområden

Mekanik 38 formler
El och magnetism 24 formler
Vågor och optik 18 formler
Modern fysik 19 formler
Termofysik 15 formler
Konstanter och storleksordningar 29 formler
Algebra, ekvationer och olikheter 27 formler
Trigonometri och geometri 26 formler

Till formelsamlingen · Om Matematik- och fysikprovet

MaFy-appen och de här sidorna är inte knutna till eller godkända av Chalmers, KTH, GU, SU eller provets arrangörer. Uppgifterna i appen är egna och kopierar inte provets uppgifter.